2008-2009年高三一轮复习讲座之数列

二、学习指导

     1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。

研究数列，首先研究对应法则——通项公式：a_n=f(n)，n∈N₊，要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式S_n：S_n=a₁+a₂+…a_n，由S_n定义，得到数列中的重要公式： 。

一般数列的a_n及S_n,，除化归为等差数列及等比数列外，求S_n还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。

2、等差数列

   （1）定义，{a_n}为等差数列 a_n+1-a_n=d（常数），n∈N₊ 2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2，n∈N₊）；

   （2）通项公式：a_n=a_n+(n-1)d，a_n=a_m+(n-m)d；

        前n项和公式： ；

   （3）性质：a_n=an+b，即a_n是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；

    S_n=an²+bn，即S_n是n的不含常数项的二次函数；

若{a_n}，{b_n}均为等差数列，则{a_n±n_n},{ },{ka_n+c}（k，c为常数）均为等差数列；

当m+n=p+q时，a_m+a_n=a_p+a_q，特例：a₁+a_n=a₂+a­_n-1=a₃+a_n-2=…；当2n=p+q时，2a_n=a_p+a_q；

当n为奇数时，S_2n-1=(2n-1)a­_n；S_奇= a_中，S_偶= a_中。

    3、等比数列

（1）            定义： =q（q为常数，a_n≠0）；a_n²=a_n-1a_n+1（n≥2，n∈N₊）；

（2）            通项公式：a_n=a₁q^n-1，a_n=a_mq^n-m;

     前n项和公式： ；

（3）            性质

当m+n=p+q时，a_ma_n=a_pa_q，特例：a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…，当2n=p+q时，a_n²=a_pa_q，数列{ka_n}，{ }成等比数列。

4、等差、等比数列的应用

   （1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；

   （2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；

   （3）若{a_n}为等差数列，则{ }为等比数列（a>0且a≠1）；

若{a_n}为正数等比数列，则{log_aa_n}为等差数列（a>0且a≠1）。

三、典型例题